Materi Ajar Interaktif

Materi Ajar: Persamaan Kuadrat

Panduan Interaktif untuk Memahami Persamaan Kuadrat

Apa Itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Bentuk umumnya adalah \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \(x\) adalah variabel, dan \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah koefisien dengan syarat \(a \neq 0\). Persamaan ini sering digunakan untuk memodelkan berbagai fenomena di dunia nyata, seperti lintasan bola atau pergerakan benda jatuh.

Tujuan utama kita adalah menemukan nilai \(x\) yang memenuhi persamaan tersebut. Mari kita jelajahi tiga metode utama untuk menyelesaikannya.

Metode 1: Faktorisasi

Faktorisasi adalah metode yang paling sederhana jika persamaannya mudah difaktorkan. Prinsipnya adalah mengubah persamaan menjadi bentuk perkalian dua faktor linier.

Contoh: Selesaikan \(x^2 + 5x + 6 = 0\)

Langkah 1: Temukan dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 6 dan jika dijumlahkan hasilnya 5. Bilangan tersebut adalah 2 dan 3.

Langkah 2: Tuliskan persamaan dalam bentuk faktor.

\((x + 2)(x + 3) = 0\)

Langkah 3: Atur setiap faktor sama dengan nol untuk menemukan solusi.

\(x + 2 = 0 \implies x_1 = -2\)

\(x + 3 = 0 \implies x_2 = -3\)

Metode 2: Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode ini mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna \((x+p)^2=q\) agar lebih mudah diselesaikan dengan mengakarkan kedua sisi.

Contoh: Selesaikan \(x^2 - 4x - 5 = 0\)

Langkah 1: Pindahkan konstanta ke sisi kanan.

\(x^2 - 4x = 5\)

Langkah 2: Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien \(x\) ke kedua sisi.

\(x^2 - 4x + (-4/2)^2 = 5 + (-4/2)^2\)

\(x^2 - 4x + 4 = 9\)

Langkah 3: Sederhanakan sisi kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna.

\((x - 2)^2 = 9\)

Langkah 4: Ambil akar kuadrat dari kedua sisi.

\(x - 2 = \pm\sqrt{9}\)

\(x - 2 = \pm3\)

Langkah 5: Selesaikan untuk \(x\).

\(x_1 = 2 + 3 = 5\)

\(x_2 = 2 - 3 = -1\)

Metode 3: Rumus ABC (Rumus Kuadrat)

Rumus ABC adalah metode paling universal yang bisa menyelesaikan setiap persamaan kuadrat, bahkan jika hasilnya bukan bilangan bulat. Rumusnya adalah \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).

Contoh: Selesaikan \(2x^2 + 5x - 3 = 0\)

Langkah 1: Identifikasi nilai \(a\), \(b\), dan \(c\).

\(a=2\), \(b=5\), \(c=-3\)

Langkah 2: Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumus.

\(x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}\)

Langkah 3: Selesaikan ekspresi di bawah akar (diskriminan) dan penyebutnya.

\(x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}\)

\(x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4}\)

\(x = \frac{-5 \pm 7}{4}\)

Langkah 4: Hitung kedua solusi.

\(x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

\(x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3\)

Perbandingan Metode

Pahami kapan harus menggunakan setiap metode untuk hasil yang paling efisien.

Metode	Kapan Digunakan	Kelebihan	Kelemahan
Faktorisasi	Ketika persamaan mudah difaktorkan.	Cepat dan mudah.	Tidak selalu bisa diterapkan.
Melengkapkan Kuadrat Sempurna	Ketika \(a=1\) dan \(b\) adalah bilangan genap.	Selalu bisa diterapkan (untuk akar riil).	Sering kali rumit dan melibatkan pecahan.
Rumus ABC	Selalu. Pilihan terbaik untuk semua kasus.	Bekerja untuk setiap persamaan kuadrat.	Dapat menjadi panjang dan rentan terhadap kesalahan perhitungan.

Aplikasi di Dunia Nyata

Mari terapkan pengetahuan Anda untuk menyelesaikan soal cerita.

Soal:

Seorang petani memiliki tanah persegi panjang dengan luas \(108 m^2\). Jika panjangnya 3 meter lebih dari lebarnya, berapakah panjang dan lebar tanah tersebut?

Langkah 1: Tetapkan variabel. Misal lebar = \(x\). Maka panjang = \(x + 3\).

Langkah 2: Buat persamaan dari soal.

Luas = Panjang \(\times\) Lebar

\(108 = (x + 3)x\)

\(108 = x^2 + 3x\)

\(x^2 + 3x - 108 = 0\)

Langkah 3: Selesaikan persamaan.

Menggunakan faktorisasi: \((x + 12)(x - 9) = 0\)

Solusi: \(x = -12\) atau \(x = 9\). Karena lebar tidak bisa negatif, kita ambil \(x=9\).

Langkah 4: Tentukan panjang dan lebar.

Lebar: \(x = 9\) meter

Panjang: \(x+3 = 9+3 = 12\) meter